z-1/z =2+4i

Lösung

z - \frac{1}{z} = 2 + 4 i

z = - 0.11178 \dots + 0.20109 \dots i, z = 2.11178 \dots + 3.79890 \dots i

Schritte zur Lösung

z - \frac{1}{z} = 2 + 4 i

Ersetze

z = x + y i

x + y i - \frac{1}{x + y i} = 2 + 4 i

Multipliziere beide Seiten mit

x + y i

x (x + y i) + y i (x + y i) - \frac{1}{x + y i} (x + y i) = 2 (x + y i) + 4 i (x + y i)

Schreibe um

(x^{2} - y^{2} - 1) + 2 i x y = (2 x - 4 y) + i (2 y + 4 x)

Komplexe Zahlen können nur gleich sein wenn ihre realen und imaginären Teile gleich sind.Schreibe als Gleichungssystem um

[x^{2} - y^{2} - 1 = 2 x - 4 y 2 x y = 2 y + 4 x]

[x^{2} - y^{2} - 1 = 2 x - 4 y 2 x y = 2 y + 4 x] : (x = - 0.11178 \dots, x = 2.11178 \dots, y = 0.20109 \dots y = 3.79890 \dots)

Setze in

z = x + y i

ein

z = - 0.11178 \dots + 0.20109 \dots i, z = 2.11178 \dots + 3.79890 \dots i

\frac{z + i}{z - i} = 1

x^{2} + (2 - i) x - 2 i = 0

3 + (5 x + y) i = 3 x - 6 i

x^{2} + (3 - i) x - 3 = 0

(7 + 2 i) (x - i y) = 5 i (x + i y) - 14 i