簡約 x+iy+1/(x+iy)

解

簡約

x + i y + \frac{1}{x + i y}

\frac{x + x ^{3} + x y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} + i \frac{- y + y ^{3} + x ^{2} y}{x ^{2} + y ^{2}}

解答ステップ

x + i y + \frac{1}{x + i y}

元を分数に変換する:

x = \frac{x ( x + i y )}{x + i y}, i y = \frac{i y ( x + i y )}{x + i y}

= \frac{1}{x + i y} + \frac{x ( x + i y )}{x + i y} + \frac{i y ( x + i y )}{x + i y}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + x ( x + i y ) + i y ( x + i y )}{x + i y}

i y (x + i y) = - y^{2} + i x y

= \frac{1 + x ( x + i y ) + ( - y ^{2} + i x y )}{x + i y}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{1 + x ( x + i y ) - y ^{2} + y x i}{x + i y}

拡張

1 + x (x + i y) - y^{2} + y x i : x^{2} + 2 i x y - y^{2} + 1

= \frac{x ^{2} + 2 i x y - y ^{2} + 1}{x + i y}

有理化する

\frac{x ^{2} + 2 i x y - y ^{2} + 1}{x + i y} : \frac{x ^{3} + x y ^{2} + x + i ( y ^{3} + x ^{2} y - y )}{x ^{2} + y ^{2}}

= \frac{x ^{3} + x y ^{2} + x + i ( y ^{3} + x ^{2} y - y )}{x ^{2} + y ^{2}}

標準的な複素数形式で

\frac{x ^{3} + x y ^{2} + x + i ( y ^{3} + x ^{2} y - y )}{x ^{2} + y ^{2}}

を書き換える:

\frac{x ^{3} + x y ^{2} + x}{x ^{2} + y ^{2}} + \frac{y ^{3} + x ^{2} y - y}{x ^{2} + y ^{2}} i

= \frac{x ^{3} + x y ^{2} + x}{x ^{2} + y ^{2}} + \frac{y ^{3} + x ^{2} y - y}{x ^{2} + y ^{2}} i