integral of 1/((5-4x-x^2)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{( 5 - 4 x - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x + 2}{9 ( - x ^{2} - 4 x + 5 ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 5 - 4 x - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Vervollständige das Quadrat

5 - 4 x - x^{2} : - (x + 2)^{2} + 9

= \int \frac{1}{( - ( x + 2 ) ^{2} + 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{( - u ^{2} + 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{9 cos ^{2} ( v )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{9} \cdot \int \frac{1}{cos ^{2} ( v )} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{cos ^{2} ( v )} d v = tan (v)

= \frac{1}{9} tan (v)

Ersetze zurück

= \frac{1}{9} tan (arcsin (\frac{1}{3} (x + 2)))

Vereinfache

\frac{1}{9} tan (arcsin (\frac{1}{3} (x + 2))) : \frac{x + 2}{9 ( - x ^{2} - 4 x + 5 ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x + 2}{9 ( - x ^{2} - 4 x + 5 ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x + 2}{9 ( - x ^{2} - 4 x + 5 ) ^{\frac{1}{2}}} + C

d er i v a t i v e y = (2 x)^{8}

x \to 1 lim ((ln (x))^{2})

d er i v a t i v e (- 3 x + 1)^{3} (2 x - 1)^{4}

\frac{d}{d x} (\frac{- x ^{2} - 2 x}{( x ^{2} + x + 1 ) ^{2}})

x y y^{^{'}} = x^{2} y + y^{2}