integral of sin(2θ)sin(6θ)

解

\int sin (2 θ) sin (6 θ) d θ

\frac{1}{2} (\frac{1}{4} sin (4 θ) - \frac{1}{8} sin (8 θ)) + C

解答ステップ

\int sin (2 θ) sin (6 θ) d θ

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1}{2} (- cos (8 θ) + cos (- 4 θ)) d θ

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int - cos (8 θ) + cos (- 4 θ) d θ

簡素化

- cos (8 θ) + cos (- 4 θ) : cos (4 θ) - cos (8 θ)

= \frac{1}{2} \cdot \int cos (4 θ) - cos (8 θ) d θ

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int cos (4 θ) d θ - \int cos (8 θ) d θ)

\int cos (4 θ) d θ = \frac{1}{4} sin (4 θ)

\int cos (8 θ) d θ = \frac{1}{8} sin (8 θ)

= \frac{1}{2} (\frac{1}{4} sin (4 θ) - \frac{1}{8} sin (8 θ))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (\frac{1}{4} sin (4 θ) - \frac{1}{8} sin (8 θ)) + C