derivative f(x)=5^{-x/2}sin(2x)

解

導関数

f (x) = 5^{- \frac{x}{2}} sin (2 x)

- \frac{ln ( 5 ) e ^{- \frac{l n ( 5 ) x}{2}} sin ( 2 x )}{2} + 2 \cdot 5^{- \frac{x}{2}} cos (2 x)

解答ステップ

\frac{d}{d x} (5^{- \frac{x}{2}} sin (2 x))

積の法則を適用:

(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}

f = 5^{- \frac{x}{2}}, g = sin (2 x)

= \frac{d}{d x} (5^{- \frac{x}{2}}) sin (2 x) + \frac{d}{d x} (sin (2 x)) 5^{- \frac{x}{2}}

\frac{d}{d x} (5^{- \frac{x}{2}}) = - \frac{ln ( 5 ) e ^{- \frac{l n ( 5 ) x}{2}}}{2}

\frac{d}{d x} (sin (2 x)) = cos (2 x) \cdot 2

= (- \frac{ln ( 5 ) e ^{- \frac{l n ( 5 ) x}{2}}}{2}) sin (2 x) + cos (2 x) \cdot 2 \cdot 5^{- \frac{x}{2}}

簡素化

(- \frac{ln ( 5 ) e ^{- \frac{l n ( 5 ) x}{2}}}{2}) sin (2 x) + cos (2 x) \cdot 2 \cdot 5^{- \frac{x}{2}} : - \frac{ln ( 5 ) e ^{- \frac{l n ( 5 ) x}{2}} sin ( 2 x )}{2} + 2 \cdot 5^{- \frac{x}{2}} cos (2 x)

= - \frac{ln ( 5 ) e ^{- \frac{l n ( 5 ) x}{2}} sin ( 2 x )}{2} + 2 \cdot 5^{- \frac{x}{2}} cos (2 x)