integral of x^2sqrt(4x^2+1)

Lösung

\int x^{2} 4 x^{2} + 1 d x

\frac{1}{64} (- 2 x 1 + 4 x^{2} - ln 2 x + 1 + 4 x^{2} + 4 x (4 x^{2} + 1)^{\frac{3}{2}}) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} 4 x^{2} + 1 d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{8} sec^{3} (u) tan^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{8} \cdot \int sec^{3} (u) tan^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{8} \cdot \int sec^{3} (u) (- 1 + sec^{2} (u)) d u

Multipliziere aus

sec^{3} (u) (- 1 + sec^{2} (u)) : - sec^{3} (u) + sec^{5} (u)

= \frac{1}{8} \cdot \int - sec^{3} (u) + sec^{5} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{8} (- \int sec^{3} (u) d u + \int sec^{5} (u) d u)

\int sec^{3} (u) d u = \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int sec^{5} (u) d u = \frac{sec ^{4} ( u ) sin ( u )}{4} + \frac{3}{4} (\frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

= \frac{1}{8} (- (\frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣) + \frac{sec ^{4} ( u ) sin ( u )}{4} + \frac{3}{4} (\frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣))

Setze in

u = arctan (2 x)

ein

= \frac{1}{8} (- (\frac{1}{2} sec (arctan (2 x)) tan (arctan (2 x)) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (arctan (2 x)) + sec (arctan (2 x)) ∣) + \frac{sec ^{4} ( arctan ( 2 x ) ) sin ( arctan ( 2 x ) )}{4} + \frac{3}{4} (\frac{1}{2} sec (arctan (2 x)) tan (arctan (2 x)) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (arctan (2 x)) + sec (arctan (2 x)) ∣))

Vereinfache

\frac{1}{8} (- (\frac{1}{2} sec (arctan (2 x)) tan (arctan (2 x)) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (arctan (2 x)) + sec (arctan (2 x)) ∣) + \frac{sec ^{4} ( arctan ( 2 x ) ) sin ( arctan ( 2 x ) )}{4} + \frac{3}{4} (\frac{1}{2} sec (arctan (2 x)) tan (arctan (2 x)) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (arctan (2 x)) + sec (arctan (2 x)) ∣)) : \frac{1}{64} (- 2 x 1 + 4 x^{2} - ln 2 x + 1 + 4 x^{2} + 4 x (4 x^{2} + 1)^{\frac{3}{2}})

= \frac{1}{64} (- 2 x 1 + 4 x^{2} - ln 2 x + 1 + 4 x^{2} + 4 x (4 x^{2} + 1)^{\frac{3}{2}})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{64} (- 2 x 1 + 4 x^{2} - ln 2 x + 1 + 4 x^{2} + 4 x (4 x^{2} + 1)^{\frac{3}{2}}) + C

x \to 3 lim (\frac{x ^{2}}{x})

\frac{d}{d x} (\frac{sin ( 3 x + 1 )}{7 x ^{2} + 1})

\int \frac{12 x}{1 - x ^{4}} d x

d er i v a t i v e f (x) = \frac{x}{x - 2}

\int \frac{1}{3 t - 1} d t