integral of sqrt(a^2-x^2)

Lösung

\int a^{2} - x^{2} d x

\frac{1}{2} a^{2} (arcsin (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{a}))) + C

Schritte zur Lösung

\int a^{2} - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int a^{2} cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a^{2} \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= a^{2} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a^{2} \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= a^{2} \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= a^{2} \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{a} x)

ein

= a^{2} \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{a} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{a} x)))

Vereinfache

a^{2} \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{a} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{a} x))) : \frac{1}{2} a^{2} (arcsin (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{a})))

= \frac{1}{2} a^{2} (arcsin (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{a})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} a^{2} (arcsin (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{a}))) + C

l a pl a ce t r an s f or m e^{- 2 t} cos (4 t)

a re a x = 5 - 5 y^{2}, x = 5 y^{2} - 5

\frac{d}{d x} ((tan (- 1 (7 x))) 2)

\frac{d}{d x} (\frac{x ^{4}}{1 - x ^{3}})

\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot y ^{2}}{( x ^{2} + 1 )}