derivative of (ax^2+bx+ce^{-x/2})

解

\frac{d}{d x} ((a x^{2} + b x + c) e^{- \frac{x}{2}})

2 a e^{- \frac{x}{2}} x + b e^{- \frac{x}{2}} + \frac{- a e ^{- \frac{x}{2}} x ^{2} - b e ^{- \frac{x}{2}} x - c e ^{- \frac{x}{2}}}{2}

解答ステップ

\frac{d}{d x} ((a x^{2} + b x + c) e^{- \frac{x}{2}})

積の法則を適用:

(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}

f = a x^{2} + b x + c, g = e^{- \frac{x}{2}}

= \frac{d}{d x} (a x^{2} + b x + c) e^{- \frac{x}{2}} + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}}) (a x^{2} + b x + c)

\frac{d}{d x} (a x^{2} + b x + c) = 2 a x + b

\frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}}) = - \frac{1}{2} e^{- \frac{x}{2}}

= (2 a x + b) e^{- \frac{x}{2}} + (- \frac{1}{2} e^{- \frac{x}{2}}) (a x^{2} + b x + c)

簡素化

(2 a x + b) e^{- \frac{x}{2}} + (- \frac{1}{2} e^{- \frac{x}{2}}) (a x^{2} + b x + c) : 2 a e^{- \frac{x}{2}} x + b e^{- \frac{x}{2}} + \frac{- a e ^{- \frac{x}{2}} x ^{2} - b e ^{- \frac{x}{2}} x - c e ^{- \frac{x}{2}}}{2}

= 2 a e^{- \frac{x}{2}} x + b e^{- \frac{x}{2}} + \frac{- a e ^{- \frac{x}{2}} x ^{2} - b e ^{- \frac{x}{2}} x - c e ^{- \frac{x}{2}}}{2}