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integral of (8x^2)/(sqrt(25-x^2))

Lösung

\int \frac{8 x ^{2}}{25 - x ^{2}} d x

100 (arcsin (\frac{1}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{5} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{8 x ^{2}}{25 - x ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \int \frac{x ^{2}}{25 - x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= 8 \cdot \int 25 sin^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot 25 \cdot \int sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 8 \cdot 25 \cdot \int \frac{1 - cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot 25 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 8 \cdot 25 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u - \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 8 \cdot 25 \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{5} x)

ein

= 8 \cdot 25 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{5} x)))

Vereinfache

8 \cdot 25 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{5} x))) : 100 (arcsin (\frac{1}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{5} x)))

= 100 (arcsin (\frac{1}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{5} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 100 (arcsin (\frac{1}{5} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{5} x))) + C

\int (2 x - 4)^{5} d x

\frac{d}{d x} (e^{t a n (3 x)})

\frac{d}{d t} (\frac{t}{2})

\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{7} (y) d y

\int 1 - (- 2 sin^{2} (x + 4))^{2} d x