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integral of (2x)/((x^2+1)^2-x^2)

Lösung

\int \frac{2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2} - x ^{2}} d x

arctan (x^{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2} - x ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2} - x ^{2}} d x

Multipliziere aus

(x^{2} + 1)^{2} - x^{2} : x^{4} + x^{2} + 1

= 2 \cdot \int \frac{x}{x ^{4} + x ^{2} + 1} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{4 u ( u + u + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{u ( u + u + 1 )} d u

Wende Exponentenregel an:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{u ( u + u + 1 )} = u^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{( + u + 1 )}

= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \int u^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{u + 1} d u

Vereinfache

u^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{u + 1} : \frac{1}{u ( u + 1 )}

= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{u ( u + 1 )} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \int \frac{2}{v ^{2} + 1} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 arctan (v)

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 arctan (x^{4})

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 arctan (x^{4}) : arctan (x^{2})

= arctan (x^{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= arctan (x^{2}) + C

e^{x} y \frac{d y}{d x} = e^{- y} + e^{- 3 x - y}

y^{3} - (18 x + 2) + 3 x y^{2} y^{^{'}} = 0

y \to - 2 lim (\frac{y ^{3} + 2}{y + 2})

roo t s \frac{a}{x}

\frac{d ^{2}}{d x ^{2}} (ln (x^{2}))