inverselaplace (s^2+4)/(s^2+4s+8)

解

逆ラプラス

\frac{s ^{2} + 4}{s ^{2} + 4 s + 8}

δ (t) - 4 e^{- 2 t} cos (2 t) + 2 e^{- 2 t} sin (2 t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{s ^{2} + 4}{s ^{2} + 4 s + 8}}

以下の部分分数を得る:

\frac{s ^{2} + 4}{s ^{2} + 4 s + 8} : 1 + \frac{- 4 s - 4}{s ^{2} + 4 s + 8}

= L^{- 1} {1 + \frac{- 4 s - 4}{s ^{2} + 4 s + 8}}

拡張

\frac{- 4 s - 4}{s ^{2} + 4 s + 8} : - 4 \cdot \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4} + 4 \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}

= L^{- 1} {1 - 4 \cdot \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4} + 4 \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {1} - 4 L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} + 4 L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}}

L^{- 1} {1} : δ (t)

L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} : e^{- 2 t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} : e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= δ (t) - 4 e^{- 2 t} cos (2 t) + 4 e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

改良

δ (t) - 4 e^{- 2 t} cos (2 t) + 4 e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t) : δ (t) - 4 e^{- 2 t} cos (2 t) + 2 e^{- 2 t} sin (2 t)

= δ (t) - 4 e^{- 2 t} cos (2 t) + 2 e^{- 2 t} sin (2 t)