integral of (x^2)/(9e^{3x)}

解

\int \frac{x ^{2}}{9 e ^{3 x}} d x

\frac{1}{9} (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x^{2} + \frac{2}{27} (- 3 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x})) + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2}}{9 e ^{3 x}} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{9} \cdot \int \frac{x ^{2}}{e ^{3 x}} d x

部分積分を適用する

= \frac{1}{9} (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x^{2} - \int - \frac{2}{3} e^{- 3 x} x d x)

\int - \frac{2}{3} e^{- 3 x} x d x = - \frac{2}{27} (- 3 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x})

= \frac{1}{9} (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x^{2} - (- \frac{2}{27} (- 3 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x})))

簡素化

= \frac{1}{9} (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x^{2} + \frac{2}{27} (- 3 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{9} (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x^{2} + \frac{2}{27} (- 3 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x})) + C