интеграл от x/(sqrt(8-2x^2-x^4))

Решение

\int \frac{x}{8 - 2 x ^{2} - x ^{4}} d x

\frac{1}{2} arcsin (\frac{1}{3} (x^{2} + 1)) + C

Шаги решения

\int \frac{x}{8 - 2 x ^{2} - x ^{4}} d x

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{1}{2 8 - 2 u - u ^{2}} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{8 - 2 u - u ^{2}} d u

Заполните квадрат

8 - 2 u - u^{2} : - (u + 1)^{2} + 9

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{- ( u + 1 ) ^{2} + 9} d u

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{- v ^{2} + 9} d v

Примените тригонометрическую подстановку

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 d w

Интеграл константы:

\int a d x = a x

= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot w

Делаем обратную замену

= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot arcsin (\frac{1}{3} (x^{2} + 1))

После упрощения получаем

= \frac{1}{2} arcsin (\frac{1}{3} (x^{2} + 1))

Добавить константу к решению

= \frac{1}{2} arcsin (\frac{1}{3} (x^{2} + 1)) + C