inverselaplace 4/(s(s+2)^3)

解

逆ラプラス

\frac{4}{s ( s + 2 ) ^{3}}

\frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} e^{- 2 t} - e^{- 2 t} t - e^{- 2 t} t^{2}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{4}{s ( s + 2 ) ^{3}}}

以下の部分分数を得る:

\frac{4}{s ( s + 2 ) ^{3}} : \frac{1}{2 s} - \frac{1}{2 ( s + 2 )} - \frac{1}{( s + 2 ) ^{2}} - \frac{2}{( s + 2 ) ^{3}}

= L^{- 1} {\frac{1}{2 s} - \frac{1}{2 ( s + 2 )} - \frac{1}{( s + 2 ) ^{2}} - \frac{2}{( s + 2 ) ^{3}}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{2 s}} - L^{- 1} {\frac{1}{2 ( s + 2 )}} - L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2}}} - L^{- 1} {\frac{2}{( s + 2 ) ^{3}}}

L^{- 1} {\frac{1}{2 s}} : \frac{1}{2} H (t)

L^{- 1} {\frac{1}{2 ( s + 2 )}} : \frac{1}{2} e^{- 2 t}

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2}}} : e^{- 2 t} t

L^{- 1} {\frac{2}{( s + 2 ) ^{3}}} : e^{- 2 t} t^{2}

= \frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} e^{- 2 t} - e^{- 2 t} t - e^{- 2 t} t^{2}