integral of cos^3(x) 1/(sin(x))

Lösung

\int cos^{3} (x) \frac{1}{sin ( x )} d x

ln ∣ sin (x) ∣ - \frac{sin ^{2} ( x )}{2} + C

Schritte zur Lösung

\int cos^{3} (x) \frac{1}{sin ( x )} d x

Wende Exponentenregel an:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{sin ( x )} = sin^{- 1} (x)

= \int cos^{3} (x) sin^{- 1} (x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int (1 - sin^{2} (x)) cos (x) sin^{- 1} (x) d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1 - u ^{2}}{u} d u

Multipliziere aus

\frac{1 - u ^{2}}{u} : \frac{1}{u} - u

= \int \frac{1}{u} - u d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{u} d u - \int u d u

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int u d u = \frac{u ^{2}}{2}

= ln ∣ u ∣ - \frac{u ^{2}}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

= ln ∣ sin (x) ∣ - \frac{sin ^{2} ( x )}{2}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln ∣ sin (x) ∣ - \frac{sin ^{2} ( x )}{2} + C

\int_{0}^{6} x^{2} - 7 x + 10 d x

\int \frac{1}{e ^{- y} ( e ^{y} + 1 ) ^{2}} d y

\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x

n = 0 \sum \infty \frac{n ^{3}}{e ^{n}}

\int - 2 x^{3} y^{- 3} - x^{2} y^{- 2} d y