integral of 1/(x^4(x^2+3)^{1/2)}

Lösung

\int \frac{1}{x ^{4} ( x ^{2} + 3 ) ^{\frac{1}{2}}} d x

\frac{1}{9} - \frac{( 3 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{3 x ^{3}} + \frac{( 3 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}{x} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ^{4} ( x ^{2} + 3 ) ^{\frac{1}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{sec ( u )}{9 tan ^{4} ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{9} \cdot \int \frac{sec ( u )}{tan ^{4} ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{9} \cdot \int \frac{( 1 - sin ^{2} ( u ) ) cos ( u )}{sin ^{4} ( u )} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{9} \cdot \int \frac{1 - v ^{2}}{v ^{4}} d v

Multipliziere aus

\frac{1 - v ^{2}}{v ^{4}} : \frac{1}{v ^{4}} - \frac{1}{v ^{2}}

= \frac{1}{9} \cdot \int \frac{1}{v ^{4}} - \frac{1}{v ^{2}} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{9} (\int \frac{1}{v ^{4}} d v - \int \frac{1}{v ^{2}} d v)

\int \frac{1}{v ^{4}} d v = - \frac{1}{3 v ^{3}}

\int \frac{1}{v ^{2}} d v = - \frac{1}{v}

= \frac{1}{9} (- \frac{1}{3 v ^{3}} - (- \frac{1}{v}))

Ersetze zurück

= \frac{1}{9} - \frac{1}{3 sin ^{3} ( arctan ( \frac{1}{3 ^{\frac{1}{2}}} x ) )} - - \frac{1}{sin ( arctan ( \frac{1}{3 ^{\frac{1}{2}}} x ) )}

Vereinfache

\frac{1}{9} - \frac{1}{3 sin ^{3} ( arctan ( \frac{1}{3 ^{\frac{1}{2}}} x ) )} - - \frac{1}{sin ( arctan ( \frac{1}{3 ^{\frac{1}{2}}} x ) )} : \frac{1}{9} - \frac{( 3 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{3 x ^{3}} + \frac{( 3 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}{x}

= \frac{1}{9} - \frac{( 3 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{3 x ^{3}} + \frac{( 3 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}{x}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{9} - \frac{( 3 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{3 x ^{3}} + \frac{( 3 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}{x} + C

x \to 0 + lim (e^{\frac{5}{x}})

\frac{d}{d x} ((x^{8} - 2)^{3})

\frac{\partial}{\partial x} (4 y^{3} + 2 x^{2} y + 1)

\frac{d y}{d x} x + 7 y = e^{x^{7}}

\int (y e^{x^{2} + y^{2}} + 3 y^{2}) d y