inverselaplace (p^3+1)^{-1}

解

逆ラプラス

(p^{3} + 1)^{- 1}

\frac{1}{3} e^{- t} - \frac{1}{3} e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + \frac{e ^{\frac{t}{2}} sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}

解答ステップ

L^{- 1} {(p^{3} + 1)^{- 1}}

拡張

(p^{3} + 1)^{- 1} : \frac{1}{p ^{3} + 1}

= L^{- 1} {\frac{1}{p ^{3} + 1}}

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{p ^{3} + 1} : \frac{1}{3 ( p + 1 )} + \frac{- p + 2}{3 ( p ^{2} - p + 1 )}

= L^{- 1} {\frac{1}{3 ( p + 1 )} + \frac{- p + 2}{3 ( p ^{2} - p + 1 )}}

拡張

= L^{- 1} {\frac{1}{3 p + 3} + \frac{- p + 2}{3 p ^{2} - 3 p + 3}}

拡張

\frac{- p + 2}{3 p ^{2} - 3 p + 3} : - \frac{1}{3} \cdot \frac{p - \frac{1}{2}}{( p - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( p - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}

= L^{- 1} {\frac{1}{3 p + 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{p - \frac{1}{2}}{( p - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( p - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{3 p + 3}} - \frac{1}{3} L^{- 1} {\frac{p - \frac{1}{2}}{( p - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} + \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{1}{( p - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}}

L^{- 1} {\frac{1}{3 p + 3}} : \frac{1}{3} e^{- t}

L^{- 1} {\frac{p - \frac{1}{2}}{( p - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} : e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2})

L^{- 1} {\frac{1}{( p - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} : e^{\frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2})

= \frac{1}{3} e^{- t} - \frac{1}{3} e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + \frac{1}{2} e^{\frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2})

改良

\frac{1}{3} e^{- t} - \frac{1}{3} e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + \frac{1}{2} e^{\frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2}) : \frac{1}{3} e^{- t} - \frac{1}{3} e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + \frac{e ^{\frac{t}{2}} sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}

= \frac{1}{3} e^{- t} - \frac{1}{3} e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + \frac{e ^{\frac{t}{2}} sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}