inverselaplace 1/(s^3(s^2+1))

解答

的拉普拉斯逆变换

\frac{1}{s ^{3} ( s ^{2} + 1 )}

- H (t) + \frac{t ^{2}}{2} + cos (t)

求解步骤

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{3} ( s ^{2} + 1 )}}

将

\frac{1}{s ^{3} ( s ^{2} + 1 )}

用部份分式展开:

- \frac{1}{s} + \frac{1}{s ^{3}} + \frac{s}{s ^{2} + 1}

= L^{- 1} {- \frac{1}{s} + \frac{1}{s ^{3}} + \frac{s}{s ^{2} + 1}}

利用逆拉普拉斯变换的线性特性:

对于函数

f (s), g (s)

和常数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= - L^{- 1} {\frac{1}{s}} + L^{- 1} {\frac{1}{s ^{3}}} + L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 1}}

L^{- 1} {\frac{1}{s}} : H (t)

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{3}}} : \frac{t ^{2}}{2}

L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 1}} : cos (t)

= - H (t) + \frac{t ^{2}}{2} + cos (t)

\frac{d}{d x} (3 x^{2} ln (x) + x^{2})

\int e^{- 21 x} d x

\int \frac{1}{x ^{4} - x ^{3}} d x

l a pl a ce t r an s f or m cos (3 x)

\frac{d}{d x} (\frac{10}{ln ( x )})