integral from 0 to pi of sin(x)cos(nx)

解

\int_{0}^{π} sin (x) cos (n x) d x

- \frac{( - 1 ) ^{- n} + 1}{( n + 1 ) ( n - 1 )}

解答ステップ

\int_{0}^{π} sin (x) cos (n x) d x

次の恒等を使用する:

cos (t) sin (s) = \frac{sin ( s + t ) + sin ( s - t )}{2}

= \int_{0}^{π} \frac{sin ( x + n x ) + sin ( x - n x )}{2} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{π} sin (x + n x) + sin (x - n x) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} sin (x + n x) d x + \int_{0}^{π} sin (x - n x) d x)

\int_{0}^{π} sin (x + n x) d x = \frac{( - 1 ) ^{n} + 1}{1 + n}

\int_{0}^{π} sin (x - n x) d x = \frac{( - 1 ) ^{- n} + 1}{1 - n}

= \frac{1}{2} (\frac{( - 1 ) ^{n} + 1}{1 + n} + \frac{( - 1 ) ^{- n} + 1}{1 - n})

簡素化

\frac{1}{2} (\frac{( - 1 ) ^{n} + 1}{1 + n} + \frac{( - 1 ) ^{- n} + 1}{1 - n}) : - \frac{( - 1 ) ^{- n} + 1}{( n + 1 ) ( n - 1 )}

= - \frac{( - 1 ) ^{- n} + 1}{( n + 1 ) ( n - 1 )}