d/(dz)(1/(1-z^{-1)})

解

\frac{d}{d z} (\frac{1}{1 - z ^{- 1}})

- \frac{1}{( z - 1 ) ^{2}}

解答ステップ

\frac{d}{d z} (\frac{1}{1 - z ^{- 1}})

指数の規則を適用する:

\frac{1}{a} = a^{- 1}

= \frac{d}{d z} ((1 - z^{- 1})^{- 1})

連鎖法則を適用:

- \frac{1}{( 1 - z ^{- 1} ) ^{2}} \frac{d}{d z} (1 - z^{- 1})

= - \frac{1}{( 1 - z ^{- 1} ) ^{2}} \frac{d}{d z} (1 - z^{- 1})

\frac{d}{d z} (1 - z^{- 1}) = \frac{1}{z ^{2}}

= - \frac{1}{( 1 - z ^{- 1} ) ^{2}} \cdot \frac{1}{z ^{2}}

簡素化

- \frac{1}{( 1 - z ^{- 1} ) ^{2}} \cdot \frac{1}{z ^{2}} : - \frac{1}{( z - 1 ) ^{2}}

= - \frac{1}{( z - 1 ) ^{2}}