integral of (e^x(e^x+1))/((e^x-1)^3)

Lösung

\int \frac{e ^{x} ( e ^{x} + 1 )}{( e ^{x} - 1 ) ^{3}} d x

- \frac{1}{e ^{x} - 1} - \frac{1}{( e ^{x} - 1 ) ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{x} ( e ^{x} + 1 )}{( e ^{x} - 1 ) ^{3}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u + 1}{( u - 1 ) ^{3}} d u

Multipliziere aus

\frac{u + 1}{( u - 1 ) ^{3}} : \frac{u}{( u - 1 ) ^{3}} + \frac{1}{( u - 1 ) ^{3}}

= \int \frac{u}{( u - 1 ) ^{3}} + \frac{1}{( u - 1 ) ^{3}} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{u}{( u - 1 ) ^{3}} d u + \int \frac{1}{( u - 1 ) ^{3}} d u

\int \frac{u}{( u - 1 ) ^{3}} d u = - \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{2 ( u - 1 ) ^{2}}

\int \frac{1}{( u - 1 ) ^{3}} d u = - \frac{1}{2 ( u - 1 ) ^{2}}

= - \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{2 ( u - 1 ) ^{2}} - \frac{1}{2 ( u - 1 ) ^{2}}

Setze in

u = e^{x}

ein

= - \frac{1}{e ^{x} - 1} - \frac{1}{2 ( e ^{x} - 1 ) ^{2}} - \frac{1}{2 ( e ^{x} - 1 ) ^{2}}

Vereinfache

- \frac{1}{e ^{x} - 1} - \frac{1}{2 ( e ^{x} - 1 ) ^{2}} - \frac{1}{2 ( e ^{x} - 1 ) ^{2}} : - \frac{1}{e ^{x} - 1} - \frac{1}{( e ^{x} - 1 ) ^{2}}

= - \frac{1}{e ^{x} - 1} - \frac{1}{( e ^{x} - 1 ) ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{e ^{x} - 1} - \frac{1}{( e ^{x} - 1 ) ^{2}} + C

\frac{d y}{d x} = 3 (2 - y)

\frac{d y}{d x} = \frac{x y + y ^{2}}{x ^{2}}

\frac{d y}{d x} = 16 4 4 x^{4} + 4

y^{^{''}} + 2 y^{^{'}} + 26 y = 0

a re a 2^{x}, ln (x), \frac{1}{2}, 2