integral of 5e^{-3x}(4-e^{-3x})^5

解答

\int 5 e^{- 3 x} (4 - e^{- 3 x})^{5} d x

5 (- \frac{1024}{3} e^{- 3 x} + \frac{640}{3} e^{- 6 x} - \frac{640}{9} e^{- 9 x} + \frac{40}{3} e^{- 12 x} - \frac{4}{3} e^{- 15 x} + \frac{1}{18} e^{- 18 x}) + C

求解步骤

\int 5 e^{- 3 x} (4 - e^{- 3 x})^{5} d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \int e^{- 3 x} (4 - e^{- 3 x})^{5} d x

乘开

e^{- 3 x} (4 - e^{- 3 x})^{5} : 1024 e^{- 3 x} - 1280 e^{- 6 x} + 640 e^{- 9 x} - 160 e^{- 12 x} + 20 e^{- 15 x} - e^{- 18 x}

= 5 \cdot \int 1024 e^{- 3 x} - 1280 e^{- 6 x} + 640 e^{- 9 x} - 160 e^{- 12 x} + 20 e^{- 15 x} - e^{- 18 x} d x

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 5 (\int 1024 e^{- 3 x} d x - \int 1280 e^{- 6 x} d x + \int 640 e^{- 9 x} d x - \int 160 e^{- 12 x} d x + \int 20 e^{- 15 x} d x - \int e^{- 18 x} d x)

\int 1024 e^{- 3 x} d x = - \frac{1024}{3} e^{- 3 x}

\int 1280 e^{- 6 x} d x = - \frac{640}{3} e^{- 6 x}

\int 640 e^{- 9 x} d x = - \frac{640}{9} e^{- 9 x}

\int 160 e^{- 12 x} d x = - \frac{40}{3} e^{- 12 x}

\int 20 e^{- 15 x} d x = - \frac{4}{3} e^{- 15 x}

\int e^{- 18 x} d x = - \frac{1}{18} e^{- 18 x}

= 5 (- \frac{1024}{3} e^{- 3 x} - (- \frac{640}{3} e^{- 6 x}) - \frac{640}{9} e^{- 9 x} - (- \frac{40}{3} e^{- 12 x}) - \frac{4}{3} e^{- 15 x} - (- \frac{1}{18} e^{- 18 x}))

化简

= 5 (- \frac{1024}{3} e^{- 3 x} + \frac{640}{3} e^{- 6 x} - \frac{640}{9} e^{- 9 x} + \frac{40}{3} e^{- 12 x} - \frac{4}{3} e^{- 15 x} + \frac{1}{18} e^{- 18 x})

解答补常数

= 5 (- \frac{1024}{3} e^{- 3 x} + \frac{640}{3} e^{- 6 x} - \frac{640}{9} e^{- 9 x} + \frac{40}{3} e^{- 12 x} - \frac{4}{3} e^{- 15 x} + \frac{1}{18} e^{- 18 x}) + C

\frac{d}{d x} ((4 x^{3} + 5) (x^{4} - 2 x))

x \to 3 lim (\frac{∣ x ∣}{x})

\int_{0}^{\frac{3 π}{2}} cos^{3} (41 x) d x

in v erse l a pl a ce \frac{s}{( s ^{2} + 25 ) ( s ^{2} + 16 )}

\int x^{2} (4 x^{3} - 3)^{4} d x