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Beliebt Rechnen >

integral of (x^2)/((sqrt(x^2+9))^3)

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} + 9 ) ^{3}} d x

Lösung

ln (\frac{1}{3} x + 9 + x^{2}) - \frac{x}{9 + x ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} + 9 ) ^{3}} d x

(x^{2} + 9)^{3} = (x^{2} + 9)^{\frac{3}{2}}

= \int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} + 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int tan^{2} (u) cos (u) d u

Vereinfache

tan^{2} (u) cos (u) : sin (u) tan (u)

= \int sin (u) tan (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1 - cos ^{2} ( u )}{cos ( u )} d u

Multipliziere aus

\frac{1 - cos ^{2} ( u )}{cos ( u )} : \frac{1}{cos ( u )} - cos (u)

= \int \frac{1}{cos ( u )} - cos (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{cos ( u )} d u - \int cos (u) d u

\int \frac{1}{cos ( u )} d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int cos (u) d u = sin (u)

= ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ - sin (u)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{3} x)

ein

= ln tan (arctan (\frac{1}{3} x)) + sec (arctan (\frac{1}{3} x)) - sin (arctan (\frac{1}{3} x))

Vereinfache

ln tan (arctan (\frac{1}{3} x)) + sec (arctan (\frac{1}{3} x)) - sin (arctan (\frac{1}{3} x)) : ln (\frac{1}{3} x + 9 + x^{2}) - \frac{x}{9 + x ^{2}}

= ln (\frac{1}{3} x + 9 + x^{2}) - \frac{x}{9 + x ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln (\frac{1}{3} x + 9 + x^{2}) - \frac{x}{9 + x ^{2}} + C

Graph

Beliebte Beispiele

limit as x approaches 4 of sqrt(x)

x \to 4 lim (x)

fläche y=5x^3-2x^4,x=0,x=2

a re a y = 5 x^{3} - 2 x^{4}, x = 0, x = 2

derivative of 6x^2*cos(2x)

\frac{d}{d x} (6 x^{2} \cdot cos (2 x))

d/(dt)(e^{tsin(2t)})

\frac{d}{d t} (e^{t s i n (2 t)})

derivative of 9e^{-x}

\frac{d}{d x} (9 e^{- x})