integral of 1/(sqrt(b^2+a^2x^2))

Lösung

\int \frac{1}{b ^{2} + a ^{2} x ^{2}} d x

\frac{1}{a} ln (\frac{a x + b ^{2} + a ^{2} x ^{2}}{∣ b ∣}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{b ^{2} + a ^{2} x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{sec ( u )}{a} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a} \cdot \int sec (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= \frac{1}{a} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

Setze in

u = arctan (\frac{a}{b} x)

ein

= \frac{1}{a} ln tan (arctan (\frac{a}{b} x)) + sec (arctan (\frac{a}{b} x))

Vereinfache

\frac{1}{a} ln tan (arctan (\frac{a}{b} x)) + sec (arctan (\frac{a}{b} x)) : \frac{1}{a} ln (\frac{a x + b ^{2} + a ^{2} x ^{2}}{∣ b ∣})

= \frac{1}{a} ln (\frac{a x + b ^{2} + a ^{2} x ^{2}}{∣ b ∣})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{a} ln (\frac{a x + b ^{2} + a ^{2} x ^{2}}{∣ b ∣}) + C

\int x^{2} ln (x) + e^{2 x} + 1 d x

\frac{d}{d x} (x^{2} - \frac{1}{x})

d er i v a t i v e e^{- 5 x}

\frac{d}{d x} (x^{2} y^{4} e^{y})

\frac{d}{d x} (\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 6})