integral of sin^3(3x)cos^3(3x)

Lösung

\int sin^{3} (3 x) cos^{3} (3 x) d x

\frac{1}{3} (- \frac{cos ^{4} ( 3 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 3 x )}{6}) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{3} (3 x) cos^{3} (3 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int sin^{3} (u) cos^{3} (u) \frac{1}{3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int sin^{3} (u) cos^{3} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{3} \cdot \int (1 - cos^{2} (u)) sin (u) cos^{3} (u) d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{3} \cdot \int - v^{3} (1 - v^{2}) d v

Multipliziere aus

- v^{3} (1 - v^{2}) : - v^{3} + v^{5}

= \frac{1}{3} \cdot \int - v^{3} + v^{5} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{3} (- \int v^{3} d v + \int v^{5} d v)

\int v^{3} d v = \frac{v ^{4}}{4}

\int v^{5} d v = \frac{v ^{6}}{6}

= \frac{1}{3} (- \frac{v ^{4}}{4} + \frac{v ^{6}}{6})

Ersetze zurück

= \frac{1}{3} (- \frac{cos ^{4} ( 3 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 3 x )}{6})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{3} (- \frac{cos ^{4} ( 3 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 3 x )}{6}) + C

x \to 0 lim (cot (3 x))

x \to - 1 lim (3 x + 4)

\frac{d}{d x} (e^{7 x s i n (2 x)})

\int sin (2 x + 1) d x

\frac{d}{d t} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}})