integral of 1/(e^{kx)}

解

\int \frac{1}{e ^{k x}} d x

\frac{x}{e ^{k x}} - e^{- k x} x - \frac{e ^{- k x}}{k} + C

解答ステップ

\int \frac{1}{e ^{k x}} d x

部分積分を適用する

= \frac{x}{e ^{k x}} - \int - k e^{- k x} x d x

\int - k e^{- k x} x d x = e^{- k x} x + \frac{e ^{- k x}}{k}

= \frac{x}{e ^{k x}} - (e^{- k x} x + \frac{e ^{- k x}}{k})

簡素化

= \frac{x}{e ^{k x}} - e^{- k x} x - \frac{e ^{- k x}}{k}

定数を解答に追加する

= \frac{x}{e ^{k x}} - e^{- k x} x - \frac{e ^{- k x}}{k} + C