inverselaplace 1/(s^3(s+1))

解

逆ラプラス

\frac{1}{s ^{3} ( s + 1 )}

H (t) - t + \frac{t ^{2}}{2} - e^{- t}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{3} ( s + 1 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{s ^{3} ( s + 1 )} : \frac{1}{s} - \frac{1}{s ^{2}} + \frac{1}{s ^{3}} - \frac{1}{s + 1}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} - \frac{1}{s ^{2}} + \frac{1}{s ^{3}} - \frac{1}{s + 1}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{s}} - L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2}}} + L^{- 1} {\frac{1}{s ^{3}}} - L^{- 1} {\frac{1}{s + 1}}

L^{- 1} {\frac{1}{s}} : H (t)

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2}}} : t

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{3}}} : \frac{t ^{2}}{2}

L^{- 1} {\frac{1}{s + 1}} : e^{- t}

= H (t) - t + \frac{t ^{2}}{2} - e^{- t}