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人気のある微分積分 >

integral of (e^x+1)^3

解

\int (e^{x} + 1)^{3} d x

解

\frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{3}{2} e^{2 x} + 3 e^{x} + x + C

解答ステップ

\int (e^{x} + 1)^{3} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{( u + 1 ) ^{3}}{u} d u

拡張

\frac{( u + 1 ) ^{3}}{u} : u^{2} + 3 u + 3 + \frac{1}{u}

= \int u^{2} + 3 u + 3 + \frac{1}{u} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int u^{2} d u + \int 3 u d u + \int 3 d u + \int \frac{1}{u} d u

\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3}

\int 3 u d u = \frac{3 u ^{2}}{2}

\int 3 d u = 3 u

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

= \frac{u ^{3}}{3} + \frac{3 u ^{2}}{2} + 3 u + ln ∣ u ∣

代用を戻す

u = e^{x}

= \frac{( e ^{x} ) ^{3}}{3} + \frac{3 ( e ^{x} ) ^{2}}{2} + 3 e^{x} + ln ∣ e^{x} ∣

簡素化

\frac{( e ^{x} ) ^{3}}{3} + \frac{3 ( e ^{x} ) ^{2}}{2} + 3 e^{x} + ln ∣ e^{x} ∣ : \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{3}{2} e^{2 x} + 3 e^{x} + x

= \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{3}{2} e^{2 x} + 3 e^{x} + x

定数を解答に追加する

= \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{3}{2} e^{2 x} + 3 e^{x} + x + C

グラフ

人気の例

y^'=0.05y-12*4000

y^{^{'}} = 0.05 y - 12 \cdot 4000

derivative of xsin(x+y+ycos(x))

\frac{d}{d x} (x sin (x + y) + y cos (x))

d/(dt)(t/(1+t^2))

\frac{d}{d t} (\frac{t}{1 + t ^{2}})

a re a x^{2}, 1, 0

tangent f(x)=9x^2+7x-6

t an g e n t f (x) = 9 x^{2} + 7 x - 6