integral of 4piy(6+y^{3/2})

解

\int 4 π y (6 + y^{\frac{3}{2}}) d y

4 π (3 y^{2} + \frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}) + C

解答ステップ

\int 4 π y (6 + y^{\frac{3}{2}}) d y

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 π \cdot \int y (6 + y^{\frac{3}{2}}) d y

拡張

y (6 + y^{\frac{3}{2}}) : 6 y + y^{\frac{5}{2}}

= 4 π \cdot \int 6 y + y^{\frac{5}{2}} d y

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 π (\int 6 y d y + \int y^{\frac{5}{2}} d y)

\int 6 y d y = 3 y^{2}

\int y^{\frac{5}{2}} d y = \frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}

= 4 π (3 y^{2} + \frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}})

定数を解答に追加する

= 4 π (3 y^{2} + \frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}) + C