integral of 1/((x^2+2)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + 2 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x}{2 ( 2 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + 2 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{2 sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{2} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{2} sin (u)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}}} x)

ein

= \frac{1}{2} sin (arctan (\frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}}} x))

Vereinfache

\frac{1}{2} sin (arctan (\frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}}} x)) : \frac{x}{2 ( 2 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{2 ( 2 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{2 ( 2 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

\int \frac{1}{x ^{2} + 8 x + 25} d x

x y^{^{'}} + (1 - x) y = 2 x e^{x}

x \to 4 - lim (\frac{5}{x - 4})

\int \frac{2 x}{1 - 4 x ^{2}} d x

\frac{\partial}{\partial y} (x^{3} y - 3 x y^{2})