integral of x^2sqrt(81-x^2)

Lösung

\int x^{2} 81 - x^{2} d x

\frac{6561}{8} (arcsin (\frac{1}{9} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{9} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} 81 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 6561 sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 6561 \cdot \int sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 6561 \cdot \int \frac{1 - cos ( 4 u )}{8} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 6561 \cdot \frac{1}{8} \cdot \int 1 - cos (4 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 6561 \cdot \frac{1}{8} (\int 1 d u - \int cos (4 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (4 u) d u = \frac{1}{4} sin (4 u)

= 6561 \cdot \frac{1}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{9} x)

ein

= 6561 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{9} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{9} x)))

Vereinfache

6561 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{9} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{9} x))) : \frac{6561}{8} (arcsin (\frac{1}{9} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{9} x)))

= \frac{6561}{8} (arcsin (\frac{1}{9} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{9} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{6561}{8} (arcsin (\frac{1}{9} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{9} x))) + C

f (x) = x 9 - x

\int (3 x^{3} + 2 3 x^{2}) d x

in v erse l a pl a ce \frac{1}{( s ^{2} + 1 ) ( s ^{3} + 1 )}

\frac{\partial}{\partial z} (\frac{( x + y )}{z})

d er i v a t i v e y = \frac{x ^{2} - 8 x + 3}{x ^{2} + 5}