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inverselaplace (x^3+1)^{-1}

Lösung

inverse laplace transformation

(x^{3} + 1)^{- 1}

Lösung

\frac{1}{3} e^{- t} - \frac{1}{3} e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + \frac{e ^{\frac{t}{2}} sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}

Schritte zur Lösung

L^{- 1} {(x^{3} + 1)^{- 1}}

Schreibe

(x^{3} + 1)^{- 1}

um:

\frac{1}{x ^{3} + 1}

= L^{- 1} {\frac{1}{x ^{3} + 1}}

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{x ^{3} + 1} : \frac{1}{3 ( x + 1 )} + \frac{- x + 2}{3 ( x ^{2} - x + 1 )}

= L^{- 1} {\frac{1}{3 ( x + 1 )} + \frac{- x + 2}{3 ( x ^{2} - x + 1 )}}

Schreibe um

= L^{- 1} {\frac{1}{3 x + 3} + \frac{- x + 2}{3 x ^{2} - 3 x + 3}}

Schreibe

\frac{- x + 2}{3 x ^{2} - 3 x + 3}

um:

- \frac{1}{3} \cdot \frac{x - \frac{1}{2}}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}

= L^{- 1} {\frac{1}{3 x + 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x - \frac{1}{2}}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}}

Wende die lineare Eigenschaftder inversen Laplace-Transformation an:

Für Funktionen

f (s), g (s)

und Konstanten

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{3 x + 3}} - \frac{1}{3} L^{- 1} {\frac{x - \frac{1}{2}}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} + \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}}

L^{- 1} {\frac{1}{3 x + 3}} : \frac{1}{3} e^{- t}

L^{- 1} {\frac{x - \frac{1}{2}}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} : e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2})

L^{- 1} {\frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} : e^{\frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2})

= \frac{1}{3} e^{- t} - \frac{1}{3} e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + \frac{1}{2} e^{\frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2})

Fasse

\frac{1}{3} e^{- t} - \frac{1}{3} e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + \frac{1}{2} e^{\frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2})

zusammen:

\frac{1}{3} e^{- t} - \frac{1}{3} e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + \frac{e ^{\frac{t}{2}} sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}

= \frac{1}{3} e^{- t} - \frac{1}{3} e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + \frac{e ^{\frac{t}{2}} sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}

Beliebte Beispiele

derivative of (4x^{-2x})

\frac{d}{d x} ((4 x)^{- 2 x})

derivative y=sin(sin(x))

d er i v a t i v e y = sin (sin (x))

y^{^{''}} = - 4 y

integral from 0 to 1 of 3/(2t-5)

\int_{0}^{1} \frac{3}{2 t - 5} d t

integral from 1 to 4 of x^2-4x-3

\int_{1}^{4} x^{2} - 4 x - 3 d x