inverselaplace s/(s^2+8s+25)

解

逆ラプラス

\frac{s}{s ^{2} + 8 s + 25}

e^{- 4 t} cos (3 t) - \frac{4}{3} e^{- 4 t} sin (3 t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 8 s + 25}}

拡張

\frac{s}{s ^{2} + 8 s + 25} : \frac{s + 4}{( s + 4 ) ^{2} + 9} - 4 \cdot \frac{1}{( s + 4 ) ^{2} + 9}

= L^{- 1} {\frac{s + 4}{( s + 4 ) ^{2} + 9} - 4 \cdot \frac{1}{( s + 4 ) ^{2} + 9}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{s + 4}{( s + 4 ) ^{2} + 9}} - 4 L^{- 1} {\frac{1}{( s + 4 ) ^{2} + 9}}

L^{- 1} {\frac{s + 4}{( s + 4 ) ^{2} + 9}} : e^{- 4 t} cos (3 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 4 ) ^{2} + 9}} : e^{- 4 t} \frac{1}{3} sin (3 t)

= e^{- 4 t} cos (3 t) - 4 e^{- 4 t} \frac{1}{3} sin (3 t)

改良

e^{- 4 t} cos (3 t) - 4 e^{- 4 t} \frac{1}{3} sin (3 t) : e^{- 4 t} cos (3 t) - \frac{4}{3} e^{- 4 t} sin (3 t)

= e^{- 4 t} cos (3 t) - \frac{4}{3} e^{- 4 t} sin (3 t)