integral of (e^x+1)/(e^{2x)-1}

解

\int \frac{e ^{x} + 1}{e ^{2 x} - 1} d x

- \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 1 ∣ + \frac{1}{2} ln e^{2 x} - 1 - x + C

解答ステップ

\int \frac{e ^{x} + 1}{e ^{2 x} - 1} d x

拡張

\frac{e ^{x} + 1}{e ^{2 x} - 1} : \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - 1} + \frac{1}{e ^{2 x} - 1}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - 1} d x + \int \frac{1}{e ^{2 x} - 1} d x

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - 1} d x = - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 1 ∣

\int \frac{1}{e ^{2 x} - 1} d x = \frac{1}{2} ln e^{2 x} - 1 - x

= - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 1 ∣ + \frac{1}{2} ln e^{2 x} - 1 - x

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 1 ∣ + \frac{1}{2} ln e^{2 x} - 1 - x + C