integral of (e^{2x})/(e^x-1)

Lösung

\int \frac{e ^{2 x}}{e ^{x} - 1} d x

e^{x} - 1 + ln ∣ e^{x} - 1 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{2 x}}{e ^{x} - 1} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{2 ( u - 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u - 1} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2 ( v + 1 )}{v} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{v + 1}{v} d v

Multipliziere aus

\frac{v + 1}{v} : 1 + \frac{1}{v}

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int 1 + \frac{1}{v} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 (\int 1 d v + \int \frac{1}{v} d v)

\int 1 d v = v

\int \frac{1}{v} d v = ln ∣ v ∣

= \frac{1}{2} \cdot 2 (v + ln ∣ v ∣)

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} \cdot 2 (e^{2 x} - 1 + ln e^{2 x} - 1)

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot 2 (e^{2 x} - 1 + ln e^{2 x} - 1) : e^{x} - 1 + ln ∣ e^{x} - 1 ∣

= e^{x} - 1 + ln ∣ e^{x} - 1 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= e^{x} - 1 + ln ∣ e^{x} - 1 ∣ + C

\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x

ma c l a u r in 4 cos (x)

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n} n^{- 2}

in v erse l a pl a ce \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} ( s ^{2} + 1 )}

(x 4 - x^{2})^{^{'}}