inverselaplace (s^2)/(s^3+2*s^2-1)

解

逆ラプラス

\frac{s ^{2}}{s ^{3} + 2 \cdot s ^{2} - 1}

- e^{- t} + 2 e^{- \frac{t}{2}} cosh (\frac{5 t}{2}) - \frac{4}{5} e^{- \frac{t}{2}} sinh (\frac{5 t}{2})

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{s ^{2}}{s ^{3} + 2 s ^{2} - 1}}

以下の部分分数を得る:

\frac{s ^{2}}{s ^{3} + 2 s ^{2} - 1} : - \frac{1}{s + 1} + \frac{2 s - 1}{s ^{2} + s - 1}

= L^{- 1} {- \frac{1}{s + 1} + \frac{2 s - 1}{s ^{2} + s - 1}}

拡張

\frac{2 s - 1}{s ^{2} + s - 1} : 2 \cdot \frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} - \frac{5}{4}} - 2 \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} - \frac{5}{4}}

= L^{- 1} {- \frac{1}{s + 1} + 2 \cdot \frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} - \frac{5}{4}} - 2 \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} - \frac{5}{4}}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= - L^{- 1} {\frac{1}{s + 1}} + 2 L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} - \frac{5}{4}}} - 2 L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} - \frac{5}{4}}}

L^{- 1} {\frac{1}{s + 1}} : e^{- t}

L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} - \frac{5}{4}}} : e^{- \frac{t}{2}} cosh (\frac{5 t}{2})

L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} - \frac{5}{4}}} : e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{5} sinh (\frac{5 t}{2})

= - e^{- t} + 2 e^{- \frac{t}{2}} cosh (\frac{5 t}{2}) - 2 e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{5} sinh (\frac{5 t}{2})

改良

- e^{- t} + 2 e^{- \frac{t}{2}} cosh (\frac{5 t}{2}) - 2 e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{5} sinh (\frac{5 t}{2}) : - e^{- t} + 2 e^{- \frac{t}{2}} cosh (\frac{5 t}{2}) - \frac{4}{5} e^{- \frac{t}{2}} sinh (\frac{5 t}{2})

= - e^{- t} + 2 e^{- \frac{t}{2}} cosh (\frac{5 t}{2}) - \frac{4}{5} e^{- \frac{t}{2}} sinh (\frac{5 t}{2})