integral of cos^2(θ)sin^4(θ)

解

\int cos^{2} (θ) sin^{4} (θ) d θ

\frac{3}{8} θ - \frac{1}{24} sin^{3} (θ) cos (θ) - \frac{3}{16} sin (2 θ) + \frac{1}{6} sin^{5} (θ) cos (θ) - \frac{5}{32} (2 θ - sin (2 θ)) + C

解答ステップ

\int cos^{2} (θ) sin^{4} (θ) d θ

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int (1 - sin^{2} (θ)) sin^{4} (θ) d θ

拡張

(1 - sin^{2} (θ)) sin^{4} (θ) : sin^{4} (θ) - sin^{6} (θ)

= \int sin^{4} (θ) - sin^{6} (θ) d θ

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int sin^{4} (θ) d θ - \int sin^{6} (θ) d θ

\int sin^{4} (θ) d θ = - \frac{1}{4} sin^{3} (θ) cos (θ) + \frac{3}{8} (θ - \frac{1}{2} sin (2 θ))

\int sin^{6} (θ) d θ = - \frac{cos ( θ ) sin ^{5} ( θ )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (θ) cos (θ) + \frac{3}{8} (θ - \frac{1}{2} sin (2 θ)))

= - \frac{1}{4} sin^{3} (θ) cos (θ) + \frac{3}{8} (θ - \frac{1}{2} sin (2 θ)) - (- \frac{cos ( θ ) sin ^{5} ( θ )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (θ) cos (θ) + \frac{3}{8} (θ - \frac{1}{2} sin (2 θ))))

簡素化

- \frac{1}{4} sin^{3} (θ) cos (θ) + \frac{3}{8} (θ - \frac{1}{2} sin (2 θ)) - (- \frac{cos ( θ ) sin ^{5} ( θ )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (θ) cos (θ) + \frac{3}{8} (θ - \frac{1}{2} sin (2 θ)))) : \frac{3}{8} θ - \frac{1}{24} sin^{3} (θ) cos (θ) - \frac{3}{16} sin (2 θ) + \frac{1}{6} sin^{5} (θ) cos (θ) - \frac{5}{32} (2 θ - sin (2 θ))

= \frac{3}{8} θ - \frac{1}{24} sin^{3} (θ) cos (θ) - \frac{3}{16} sin (2 θ) + \frac{1}{6} sin^{5} (θ) cos (θ) - \frac{5}{32} (2 θ - sin (2 θ))

定数を解答に追加する

= \frac{3}{8} θ - \frac{1}{24} sin^{3} (θ) cos (θ) - \frac{3}{16} sin (2 θ) + \frac{1}{6} sin^{5} (θ) cos (θ) - \frac{5}{32} (2 θ - sin (2 θ)) + C