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integral of 1/(1-cos(x)+sin(x))

Lösung

\int \frac{1}{1 - cos ( x ) + sin ( x )} d x

Lösung

ln tan (\frac{x}{2}) - ln tan (\frac{x}{2}) + 1 + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{1 - cos ( x ) + sin ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{u ( u + 1 )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{u ( u + 1 )} : \frac{1}{u} - \frac{1}{u + 1}

= \int \frac{1}{u} - \frac{1}{u + 1} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{u} d u - \int \frac{1}{u + 1} d u

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{u + 1} d u = ln ∣ u + 1 ∣

= ln ∣ u ∣ - ln ∣ u + 1 ∣

Setze in

u = tan (\frac{x}{2})

ein

= ln tan (\frac{x}{2}) - ln tan (\frac{x}{2}) + 1

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln tan (\frac{x}{2}) - ln tan (\frac{x}{2}) + 1 + C

Graph

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