integral of sin(3x)sin(5x)

解

\int sin (3 x) sin (5 x) d x

\frac{1}{2} (\frac{1}{2} sin (2 x) - \frac{1}{8} sin (8 x)) + C

解答ステップ

\int sin (3 x) sin (5 x) d x

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1}{2} (- cos (8 x) + cos (- 2 x)) d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int - cos (8 x) + cos (- 2 x) d x

簡素化

- cos (8 x) + cos (- 2 x) : cos (2 x) - cos (8 x)

= \frac{1}{2} \cdot \int cos (2 x) - cos (8 x) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int cos (2 x) d x - \int cos (8 x) d x)

\int cos (2 x) d x = \frac{1}{2} sin (2 x)

\int cos (8 x) d x = \frac{1}{8} sin (8 x)

= \frac{1}{2} (\frac{1}{2} sin (2 x) - \frac{1}{8} sin (8 x))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (\frac{1}{2} sin (2 x) - \frac{1}{8} sin (8 x)) + C