inverselaplace (4s^3)/((s+5)^9)

解

逆ラプラス

\frac{4 s ^{3}}{( s + 5 ) ^{9}}

\frac{e ^{- 5 t} t ^{5}}{30} - \frac{e ^{- 5 t} t ^{6}}{12} + \frac{5 e ^{- 5 t} t ^{7}}{84} - \frac{25 e ^{- 5 t} t ^{8}}{2016}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{4 s ^{3}}{( s + 5 ) ^{9}}}

以下の部分分数を得る:

\frac{4 s ^{3}}{( s + 5 ) ^{9}} : \frac{4}{( s + 5 ) ^{6}} - \frac{60}{( s + 5 ) ^{7}} + \frac{300}{( s + 5 ) ^{8}} - \frac{500}{( s + 5 ) ^{9}}

= L^{- 1} {\frac{4}{( s + 5 ) ^{6}} - \frac{60}{( s + 5 ) ^{7}} + \frac{300}{( s + 5 ) ^{8}} - \frac{500}{( s + 5 ) ^{9}}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{4}{( s + 5 ) ^{6}}} - L^{- 1} {\frac{60}{( s + 5 ) ^{7}}} + L^{- 1} {\frac{300}{( s + 5 ) ^{8}}} - L^{- 1} {\frac{500}{( s + 5 ) ^{9}}}

L^{- 1} {\frac{4}{( s + 5 ) ^{6}}} : \frac{e ^{- 5 t} t ^{5}}{30}

L^{- 1} {\frac{60}{( s + 5 ) ^{7}}} : \frac{e ^{- 5 t} t ^{6}}{12}

L^{- 1} {\frac{300}{( s + 5 ) ^{8}}} : \frac{5 e ^{- 5 t} t ^{7}}{84}

L^{- 1} {\frac{500}{( s + 5 ) ^{9}}} : \frac{25 e ^{- 5 t} t ^{8}}{2016}

= \frac{e ^{- 5 t} t ^{5}}{30} - \frac{e ^{- 5 t} t ^{6}}{12} + \frac{5 e ^{- 5 t} t ^{7}}{84} - \frac{25 e ^{- 5 t} t ^{8}}{2016}