integral of 4x^4e^{-x}

解

\int 4 x^{4} e^{- x} d x

4 (- e^{- x} x^{4} + 4 (- e^{- x} x^{3} - 3 (e^{- x} x^{2} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x})))) + C

解答ステップ

\int 4 x^{4} e^{- x} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int x^{4} e^{- x} d x

部分積分を適用する

= 4 (- e^{- x} x^{4} - \int - 4 e^{- x} x^{3} d x)

\int - 4 e^{- x} x^{3} d x = - 4 (- e^{- x} x^{3} - 3 (e^{- x} x^{2} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x})))

= 4 (- e^{- x} x^{4} - (- 4 (- e^{- x} x^{3} - 3 (e^{- x} x^{2} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x})))))

簡素化

= 4 (- e^{- x} x^{4} + 4 (- e^{- x} x^{3} - 3 (e^{- x} x^{2} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}))))

定数を解答に追加する

= 4 (- e^{- x} x^{4} + 4 (- e^{- x} x^{3} - 3 (e^{- x} x^{2} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x})))) + C