integral of sqrt(y^2+1)

Lösung

\int y^{2} + 1 d y

\frac{1}{2} y 1 + y^{2} + \frac{1}{2} ln y + 1 + y^{2} + C

Schritte zur Lösung

\int y^{2} + 1 d y

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int sec^{3} (u) d u

Wende integrale Reduktion an

= \frac{sec ^{2} ( u ) sin ( u )}{2} + \frac{1}{2} \cdot \int sec (u) d u

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= \frac{sec ^{2} ( u ) sin ( u )}{2} + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

Setze in

u = arctan (y)

ein

= \frac{sec ^{2} ( arctan ( y ) ) sin ( arctan ( y ) )}{2} + \frac{1}{2} ln ∣ tan (arctan (y)) + sec (arctan (y)) ∣

Vereinfache

\frac{sec ^{2} ( arctan ( y ) ) sin ( arctan ( y ) )}{2} + \frac{1}{2} ln ∣ tan (arctan (y)) + sec (arctan (y)) ∣ : \frac{1}{2} y 1 + y^{2} + \frac{1}{2} ln y + 1 + y^{2}

= \frac{1}{2} y 1 + y^{2} + \frac{1}{2} ln y + 1 + y^{2}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} y 1 + y^{2} + \frac{1}{2} ln y + 1 + y^{2} + C

t an g e n t y = sin (sin (x)), at x = π

\int (10 x) d x

n or ma l y = x, (9, 3)

d er i v a t i v e \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )}

t an g e n t y = \frac{8 x}{x ^{2} + 1}, (- 1, - 4)