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integral of (24)/((144x^2+1)^2)

Lösung

\int \frac{24}{( 144 x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

arctan (12 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (12 x)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{24}{( 144 x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 24 \cdot \int \frac{1}{( 144 x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

Wende integrale Substitution an

= 24 \cdot \int \frac{1}{12 ( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 24 \cdot \frac{1}{12} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= 24 \cdot \frac{1}{12} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 24 \cdot \frac{1}{12} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 24 \cdot \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 24 \cdot \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 24 \cdot \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 24 \cdot \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2} (arctan (12 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (12 x)))

Vereinfache

24 \cdot \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2} (arctan (12 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (12 x))) : arctan (12 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (12 x))

= arctan (12 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (12 x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= arctan (12 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (12 x)) + C

\int_{0}^{9} e^{x} sin (x) d x

\int_{0}^{x} 3 t + 5 d t

l a pl a ce t r an s f or m e^{- t} + e^{t}

y^{^{''}} + 4 y^{^{'}} + 5 y = 5 x + 3 e^{- x}

2 t \frac{d y}{d t} + y = t^{4}