integral of e^{-st}*sin(2t)

Lösung

\int e^{- s t} \cdot sin (2 t) d t

- \frac{2 e ^{- s t} cos ( 2 t )}{4 + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} sin ( 2 t )}{4 + s ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int e^{- s t} sin (2 t) d t

Wende die partielle Integration an

= - \frac{1}{2} e^{- s t} cos (2 t) - \int \frac{1}{2} s e^{- s t} cos (2 t) d t

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{2} e^{- s t} cos (2 t) - \frac{1}{2} s \cdot \int e^{- s t} cos (2 t) d t

Vereinfache

\frac{1}{2} s : \frac{s}{2}

= - \frac{1}{2} e^{- s t} cos (2 t) - \frac{s}{2} \cdot \int e^{- s t} cos (2 t) d t

Wende die partielle Integration an

= - \frac{1}{2} e^{- s t} cos (2 t) - \frac{s}{2} (\frac{1}{2} e^{- s t} sin (2 t) - \int - \frac{1}{2} s e^{- s t} sin (2 t) d t)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{2} e^{- s t} cos (2 t) - \frac{s}{2} (\frac{1}{2} e^{- s t} sin (2 t) - (- \frac{1}{2} s \cdot \int e^{- s t} sin (2 t) d t))

Vereinfache

- \frac{1}{2} s : - \frac{s}{2}

= - \frac{1}{2} e^{- s t} cos (2 t) - \frac{s}{2} (\frac{1}{2} e^{- s t} sin (2 t) - (- \frac{s}{2} \cdot \int e^{- s t} sin (2 t) d t))

Deshalb

\int e^{- s t} sin (2 t) d t = - \frac{1}{2} e^{- s t} cos (2 t) - \frac{s}{2} (\frac{1}{2} e^{- s t} sin (2 t) - (- \frac{s}{2} \cdot \int e^{- s t} sin (2 t) d t))

Isoliere

\int e^{- s t} sin (2 t) d t

= - \frac{2 e ^{- s t} cos ( 2 t )}{4 + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} sin ( 2 t )}{4 + s ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{2 e ^{- s t} cos ( 2 t )}{4 + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} sin ( 2 t )}{4 + s ^{2}} + C

x \to \frac{5 π}{2} lim (e^{t a n (x)})

a re a y = 0, y = x, y = x - 2

\frac{\partial}{\partial x} ((3 x - 1)^{2} (x^{3} + 1)^{2})

d er i v a t i v e y = (x + 3)^{3}

\frac{d y}{d t} = - \frac{y}{t}