integral of (x^2-2x+5)e^x

解

\int (x^{2} - 2 x + 5) e^{x} d x

e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 9 e^{x} + C

解答ステップ

\int (x^{2} - 2 x + 5) e^{x} d x

拡張

(x^{2} - 2 x + 5) e^{x} : e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 5 e^{x}

= \int e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 5 e^{x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{x} x^{2} d x - \int 2 e^{x} x d x + \int 5 e^{x} d x

\int e^{x} x^{2} d x = x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x})

\int 2 e^{x} x d x = 2 (e^{x} x - e^{x})

\int 5 e^{x} d x = 5 e^{x}

= x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x}) - 2 (e^{x} x - e^{x}) + 5 e^{x}

簡素化

x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x}) - 2 (e^{x} x - e^{x}) + 5 e^{x} : e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 9 e^{x}

= e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 9 e^{x}

定数を解答に追加する

= e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 9 e^{x} + C