inverselaplace 1/(s*(s^2+9/2 s+15))

解

逆ラプラス

\frac{1}{s \cdot ( s ^{2} + \frac{9}{2} s + 15 )}

\frac{1}{15} H (t) - \frac{1}{15} e^{- \frac{9 t}{4}} cos (\frac{159 t}{4}) - \frac{3 e ^{- \frac{9 t}{4}} sin ( \frac{159 t}{4} )}{5 53}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{1}{s ( s ^{2} + \frac{9}{2} s + 15 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{s ( s ^{2} + \frac{9}{2} s + 15 )} : \frac{1}{15 s} + \frac{- 2 s - 9}{15 ( 2 s ^{2} + 9 s + 30 )}

= L^{- 1} {\frac{1}{15 s} + \frac{- 2 s - 9}{15 ( 2 s ^{2} + 9 s + 30 )}}

拡張

\frac{- 2 s - 9}{15 ( 2 s ^{2} + 9 s + 30 )} : - \frac{1}{15} \cdot \frac{s + \frac{9}{4}}{( s + \frac{9}{4} ) ^{2} + \frac{159}{16}} - \frac{3}{20} \cdot \frac{1}{( s + \frac{9}{4} ) ^{2} + \frac{159}{16}}

= L^{- 1} {\frac{1}{15 s} - \frac{1}{15} \cdot \frac{s + \frac{9}{4}}{( s + \frac{9}{4} ) ^{2} + \frac{159}{16}} - \frac{3}{20} \cdot \frac{1}{( s + \frac{9}{4} ) ^{2} + \frac{159}{16}}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{15 s}} - \frac{1}{15} L^{- 1} {\frac{s + \frac{9}{4}}{( s + \frac{9}{4} ) ^{2} + \frac{159}{16}}} - \frac{3}{20} L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{9}{4} ) ^{2} + \frac{159}{16}}}

L^{- 1} {\frac{1}{15 s}} : \frac{1}{15} H (t)

L^{- 1} {\frac{s + \frac{9}{4}}{( s + \frac{9}{4} ) ^{2} + \frac{159}{16}}} : e^{- \frac{9 t}{4}} cos (\frac{159 t}{4})

L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{9}{4} ) ^{2} + \frac{159}{16}}} : e^{- \frac{9 t}{4}} \frac{4}{159} sin (\frac{159 t}{4})

= \frac{1}{15} H (t) - \frac{1}{15} e^{- \frac{9 t}{4}} cos (\frac{159 t}{4}) - \frac{3}{20} e^{- \frac{9 t}{4}} \frac{4}{159} sin (\frac{159 t}{4})

改良

\frac{1}{15} H (t) - \frac{1}{15} e^{- \frac{9 t}{4}} cos (\frac{159 t}{4}) - \frac{3}{20} e^{- \frac{9 t}{4}} \frac{4}{159} sin (\frac{159 t}{4}) : \frac{1}{15} H (t) - \frac{1}{15} e^{- \frac{9 t}{4}} cos (\frac{159 t}{4}) - \frac{3 e ^{- \frac{9 t}{4}} sin ( \frac{159 t}{4} )}{5 53}

= \frac{1}{15} H (t) - \frac{1}{15} e^{- \frac{9 t}{4}} cos (\frac{159 t}{4}) - \frac{3 e ^{- \frac{9 t}{4}} sin ( \frac{159 t}{4} )}{5 53}