integral of (e^{-x}(3+4xln(x)))/(2x)

解

\int \frac{e ^{- x} ( 3 + 4 x ln ( x ) )}{2 x} d x

\frac{1}{2} (7 Ei (- x) - 4 e^{- x} ln (x)) + C

解答ステップ

\int \frac{e ^{- x} ( 3 + 4 x ln ( x ) )}{2 x} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{e ^{- x} ( 3 + 4 x ln ( x ) )}{x} d x

拡張

\frac{e ^{- x} ( 3 + 4 x ln ( x ) )}{x} : \frac{3 e ^{- x}}{x} + 4 e^{- x} ln (x)

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{3 e ^{- x}}{x} + 4 e^{- x} ln (x) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int \frac{3 e ^{- x}}{x} d x + \int 4 e^{- x} ln (x) d x)

\int \frac{3 e ^{- x}}{x} d x = 3 Ei (- x)

\int 4 e^{- x} ln (x) d x = 4 (- e^{- x} ln (x) + Ei (- x))

= \frac{1}{2} (3 Ei (- x) + 4 (- e^{- x} ln (x) + Ei (- x)))

簡素化

\frac{1}{2} (3 Ei (- x) + 4 (- e^{- x} ln (x) + Ei (- x))) : \frac{1}{2} (7 Ei (- x) - 4 e^{- x} ln (x))

= \frac{1}{2} (7 Ei (- x) - 4 e^{- x} ln (x))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (7 Ei (- x) - 4 e^{- x} ln (x)) + C