integral of (e^y(1-e^{-2y}))/((e^y+e^{-y))}

解答

\int \frac{e ^{y} ( 1 - e ^{- 2 y} )}{( e ^{y} + e ^{- y} )} d y

\frac{e ^{2 y} y ( 1 - e ^{- 2 y} )}{e ^{2 y} + 1} - 4 (- \frac{y}{2 ( e ^{2 y} + 1 )} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} ln e^{2 y} + 1 + y)) + C

求解步骤

\int \frac{e ^{y} ( 1 - e ^{- 2 y} )}{e ^{y} + e ^{- y}} d y

使用分布积分法

= \frac{e ^{2 y} y ( 1 - e ^{- 2 y} )}{e ^{2 y} + 1} - \int \frac{4 y}{( e ^{y} + e ^{- y} ) ^{2}} d y

\int \frac{4 y}{( e ^{y} + e ^{- y} ) ^{2}} d y = 4 (- \frac{y}{2 ( e ^{2 y} + 1 )} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} ln e^{2 y} + 1 + y))

= \frac{e ^{2 y} y ( 1 - e ^{- 2 y} )}{e ^{2 y} + 1} - 4 (- \frac{y}{2 ( e ^{2 y} + 1 )} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} ln e^{2 y} + 1 + y))

解答补常数

= \frac{e ^{2 y} y ( 1 - e ^{- 2 y} )}{e ^{2 y} + 1} - 4 (- \frac{y}{2 ( e ^{2 y} + 1 )} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} ln e^{2 y} + 1 + y)) + C

\int \frac{x}{2 x ^{2} + 2 x + 7} d x

y^{^{''}} + a^{2} y = sin (b \cdot t)

\int (6 x^{2} - 4 x + 2) (x^{3} - x^{2} + x + 1)^{7} d x

\frac{\partial}{\partial x} (a^{2} - x^{2} - y^{2})

\int \frac{e ^{x^{2}}}{x} d x