integral of sin(x)cos(x)sqrt(1+cos^2(x))

Lösung

\int sin (x) cos (x) 1 + cos^{2} (x) d x

- \frac{1}{3} (1 + cos^{2} (x))^{\frac{3}{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int sin (x) cos (x) 1 + cos^{2} (x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1}{2} sin (2 x) 1 + cos^{2} (x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int sin (2 x) 1 + cos^{2} (x) d x

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int - 2 u^{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- 2 \cdot \int u^{2} d u)

Wende die Potenzregel an

= \frac{1}{2} (- 2 \cdot \frac{u ^{3}}{3})

Setze in

u = 1 + cos^{2} (x)

ein

= \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{( 1 + cos ^{2} ( x ) ) ^{3}}{3}

Vereinfache

\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{( 1 + cos ^{2} ( x ) ) ^{3}}{3} : - \frac{1}{3} (1 + cos^{2} (x))^{\frac{3}{2}}

= - \frac{1}{3} (1 + cos^{2} (x))^{\frac{3}{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{3} (1 + cos^{2} (x))^{\frac{3}{2}} + C

x \to 0 lim (e^{- 7 x})

\frac{d}{d x} (\frac{e ^{2 x} - 1}{e ^{2 x} + 1})

y^{^{''}} + 14 y^{^{'}} + 100 y = 10 sin (2 π \cdot x) + 5 sin (π \cdot x)

\int \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - 1 )} d x

3 y^{^{''}} + y^{^{'}} + 2 y = 0