integral of sqrt(9-y^2)

Lösung

\int 9 - y^{2} d y

\frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} y) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} y))) + C

Schritte zur Lösung

\int 9 - y^{2} d y

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 9 cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 9 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 9 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 9 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{3} y)

ein

= 9 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} y) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} y)))

Vereinfache

9 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} y) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} y))) : \frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} y) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} y)))

= \frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} y) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} y)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} y) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} y))) + C

a re a sin (x), cos (x), - \frac{π}{18}, \frac{9}{4}

\frac{d}{d x} (b + c (x - a)^{\frac{2}{3}})

x \to - 2 lim (\frac{x ^{2} - 4}{x - 2})

\frac{d}{d x} (x^{5} + 5)

a re a f (x) = x (x + 2) (x - 1), {- 2, 1}